extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf

2, f ) Para hallar los extremos globales de las funciones de una variable en un intervalo cerrado, empezamos comprobando los valores crticos sobre ese intervalo y luego evaluamos la funcin en sus puntos extremos. Esta aplicacin tambin es importante para las funciones de dos o ms variables, pero como hemos visto en secciones anteriores de este captulo, la introduccin de ms variables independientes conduce a ms resultados posibles para los clculos. f El conjunto DD se llama el dominio de la funcin. f pGgYiBJo^1x8"+OI,;. 2 En los siguientes ejercicios, evale cada funcin en los valores indicados. x y ( Matesfacil.com Solucin . ( 2 x y x x ) La siguiente figura muestra dos ejemplos. c , El ndice de calor es una temperatura que indica cuanto calor se siente como resultado de la combinaci on de estos dos factores. absoluto es un valor para el que la funcin toma el mayor ( menor) + x 1 0 obj Calcule W(2 +h,3+h).W(2 +h,3+h). Podemos repetir la misma derivacin para valores de cc menos de 4.4. = = x ; , y , x = x Diferenciabilidad de funciones de varias variables U. D. de Matemticas de la ETSITGC Asignatura: Mtodos Matemticos 4 19.- a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la derivada dz/dt a lo largo de la curva x=cost, y=sent, siendo xz e seny y evaluar si, en t=/2, z es creciente o decreciente. c g x 3 2 + Mximos y mnimos de una funcin (con problemas resueltos) 3 7 w 2 2 ), Derecho Penal. y ) = Teorema 1 | Demostracin 1 | Ejemplo 1 | Ejemplo 2 | Ejemplo 3 | Observaciones |. = ( y 16 x y ) f Utilizando la funcin de temperatura encontrada, determine la constante de proporcionalidad si la temperatura en el punto P(1,2 )es50C.P(1,2 )es50C. z ( (crditos: modificacin del trabajo de oatsy40, Flickr). = 4 0 obj La prueba de la segunda derivada para una funcin de dos variables, enunciada en el siguiente teorema, utiliza un discriminante DD que sustituye a f(x0)f(x0) en la prueba de la segunda derivada para una funcin de una variable. y = , 2, z 2 , } !1AQa"q2#BR$3br + = y x ) 2, f = = = = ) 3 , En los siguientes ejercicios, halle las curvas de nivel de cada funcin en el valor indicado de cc para visualizar la funcin dada. Observe que es posible que alguno de los dos valores no sea un nmero entero; por ejemplo, es posible vender 2,52,5 mil tuercas en un mes. , (Extremos de funciones de dos variables) ) f , , y x + y y = x y x 100 q +IR)y/:R PDF Extremos de funciones de varias variables f 2 ( 1 cos Por lo tanto, el grfico de la funcin ff se compone de triples ordenados (x,y,z).(x,y,z). La curva de nivel de una funcin de dos variables f(x,y)f(x,y) es completamente anloga a una lnea de contorno en un mapa topogrfico. + y , y ( ) = = = 10 2 x x 1 x g Halle el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: Calcule el dominio y el rango de la funcin f(x,y)=369x2 9y2 .f(x,y)=369x2 9y2 . x , x ( 2 x y x El conjunto de todos los puntos graficados se convierte en la superficie bidimensional que es el grfico de la funcin f.f. x El paso 2 consiste en calcular las segundas derivadas parciales de g:g: Utilice la segunda derivada para hallar los extremos locales de la funcin. Una fina placa de hierro se encuentra en el plano xy.xy. Lo mismo ocurre con las funciones de ms de una variable, como se indica en el siguiente teorema. Reconocer una funcin de tres o ms variables e identificar sus superficies de nivel. 2022 OpenStax. = Luego la ecuacin queda. x , , y y + 9 Si el lmite del conjunto DD es una curva ms complicada definida por una funcin g(x,y)=cg(x,y)=c para alguna constante c,c, y las derivadas parciales de primer orden de gg existen, entonces el mtodo de los multiplicadores de Lagrange puede ser til para determinar los extremos de ff en el borde. 0 Hasta ahora, solo hemos examinado funciones de dos variables. ) x y 2 , = Reglas de la cadena para una o dos variables independientes. endobj z ) x ( = x x (a) Un mapa topogrfico de la Torre del Diablo, Wyoming. Si ff tiene un extremo local en (x0,y0),(x0,y0), entonces (x0,y0)(x0,y0) es un punto crtico de f.f. y 3 y 2 mar. 0 , + , Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License , Halle la superficie de nivel para la funcin f(x,y,z)=4x2 +9y2 z2 f(x,y,z)=4x2 +9y2 z2 correspondiente a c=1.c=1. x ) x 2 ) y , 8 x = c /Length 1690 Utilice un CAS para graficar la funcin. x Ahora que sabemos que cualquier funcin continua ff definida en un conjunto cerrado y delimitado alcanza sus valores extremos, necesitamos saber cmo hallarlos. 2, g ) , y 3 2 y Una de las aplicaciones ms tiles de las derivadas de una funcin de una variable es la determinacin de los valores mximos o mnimos. ( , PDF Limites y continuidad - UPM , , Evaluamos las derivadas parciales segundas en el punto crtico: Por tanto, el Hessiano en el punto crtico es. y 2 y 300 + 2 , 2 extremo relativo \(a\), entonces son iguales a 0. w 1 Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). c = 4 La superficie de nivel se define por la ecuacin 4x2 +9y2 z2 =1.4x2 +9y2 z2 =1. Recta Normal 05. = x 2 Espacios vectoriales, Modelo de Demanda de modificacin de medidas, Ejercicios gramtica resueltos exmenes Oxford, ComparacioN DE LAS Principales Teorias DEL Desarrollo, 223359147 Inorganica Ejercicios Hidroxidos Con Soluciones, Casos Prcticos 1-26, 2015 con resspuestas.doc, 05lapublicidad - Ejemplo de Unidad Didctica, Sullana 19 DE Abril DEL 2021EL Religion EL HIJO Prodigo, Ficha Ordem Paranormal Editvel v1 @ leleal, La fecundacin - La fecundacion del ser humano, Examen Final Prctico Sistema Judicial Espaol. = y 2 2 x ; /Width 1091 La palabra funcinse usa con frecuencia para indicar una relacin o dependencia de una cantidad respecto de otra, estudia los siguientes ejemplos: a) El rea de un crculo es una funcin de su radio. Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4 g 1 ( 2, z=f(x,y)=x2 +y2 ,z=f(x,y)=x2 +y2 , c=3c=3, f(x,y)=y+2 x2 ,f(x,y)=y+2 x2 , c=c= cualquier constante. 10 x 2 z(x,y)=y2 x2 ,z(x,y)=y2 x2 , c=1c=1, z(x,y)=y2 x2 ,z(x,y)=y2 x2 , c=4c=4, g 2 x , 2 ( y 2 2 2 funcin en un entorno de ste, por ejemplo, en los ejes. 2 x Reconocer una funcin de dos variables e identificar su dominio y rango. ) 2 Expresar el volumen V de ese depsito en funcin del radio r del cilindro y de su altura h. - Determinar si las siguientes funciones son acotadas: z sen 2 x y1 x y cos x -ey z c)z x 2sen ex y y 2sen 22 xy - Hallar el dominio y la imagen o recorrido de las funciones: x 2 y2 9 f(x, y) = ln( xy 6) b) g(x,y) = . + ; = y + ) ( 4 ( Extremos Libres de funciones de varias variables: | Definicin 1 | Definicin 2 |. 2 z = x Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto Q(3,4).Q(3,4). , x = ( + x /Annots [ 23 0 R 24 0 R 25 0 R 26 0 R 27 0 R 28 0 R 30 0 R 32 0 R 34 0 R ] , Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones: Resolvemos el sistema y obtenemos el punto crtico, Calculamos el Hessiano y aplicamos el teorema. stream y 2 3, f = 2 ( x x x g f 9 x = ( + para todos los puntos (x,y)(x,y) dentro de un disco centrado en (x0,y0).(x0,y0). 2 Halle el dominio de las siguientes funciones. + La prueba de la segunda derivada para una funcin de una variable proporciona un mtodo para determinar si ocurre un extremo en un punto crtico de una funcin. , ) y 2 y 0 , + f z Halle las trazas verticales de la funcin f(x,y)=senxcosyf(x,y)=senxcosy correspondiente a x=4,0,y4,x=4,0,y4, y y=4,0,y4.y=4,0,y4. Ejercicios Resueltos: clculo de extremos y de puntos de silla. El mismo enfoque puede utilizarse para otras formas, como los crculos y las elipses. x , endobj Sea f (x, y) = Ax2 + B con A 6= 0. y Dos de estos ejemplos son. ( y g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 )g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 ) grandes. 2 = x Dada una funcin f(x,y)f(x,y) y un nmero cc en el rango de f,af,a curva de nivel de una funcin de dos variables para el valor cc se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuacin f(x,y)=c.f(x,y)=c. Observe que la parte superior de la torre tiene la misma forma que el centro del mapa topogrfico. y y Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables para la que las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algn disco que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). + , , 2 13 2 estn autorizados conforme a la, Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares, rea y longitud de arco en coordenadas polares, Ecuaciones de lneas y planos en el espacio, Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio, Diferenciacin de funciones de varias variables, Planos tangentes y aproximaciones lineales, Integrales dobles sobre regiones rectangulares, Integrales dobles sobre regiones generales, Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas, Clculo de centros de masa y momentos de inercia, Cambio de variables en integrales mltiples, Ecuaciones diferenciales de segundo orden, Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series. >> endobj LhnJz>FX^i$$)^P`jt5R3Y5jan @Ty@oad68 G\(S"s>}tHjTQ@94U[NS(.4rA"^U`8YD}S*MNA2EaP'u+9}6k5! Si f(x0,y0)f(x0,y0) es un valor mximo o mnimo local, entonces se llama extremos locales(vea la figura siguiente). Las lneas que estn muy juntas indican un terreno muy escarpado. , El mtodo de los multiplicadores de Lagrange se introduce en Multiplicadores de Lagrange. ) Recomendamos utilizar una + = x %&'()*456789:CDEFGHIJSTUVWXYZcdefghijstuvwxyz + , , x Para aplicar la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales, siga los siguientes pasos: Halle los puntos crticos de cada una de las siguientes funciones y utilice la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales: Por lo tanto, x=1x=1 o x=3.x=3. x Como y = 0 , de la primera ecuacin tenemos, Por tanto, el Hessiano en dichos puntos es. x , 4.7 Problemas con mximos/mnimos - Clculo volumen 3 | OpenStax ( 2 ) x x ((DQ@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@]\Gim,HB d~f'Sj.~# S5 iAg?s.?NSQ^EPEP;'5KI(TE ; y , = 2 = x x y x x x En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la funcin. 2. x c = x 2 = ) , = ( 9, g y = 1 0 obj 3 En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos crticos. endobj , e 5 y x y 1999-2023, Rice University. 3 = ( e5`&9L% 5M0$| mf7=4o4MO sb-+QR I^#[ ;6prTo`#"R_d@&k]M}qz||1dO-;osJ9>1,M8t\/-8gxx1}XgjV O!PkA Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. ) ) z 2 w x x 2 y Ejercicios Resueltos de Extremos de Funciones en Varias Variables | PDF 30 x = y f y Por lo tanto (21,3)(21,3) es un punto crtico de f.f. ) by J. Llopis is licensed under a z Este no es el caso porque el rango de la funcin de raz cuadrada es no negativo. Ejemplos de funciones de varias variables. 1 ( x = x ) 2 + 0 ) Dichos puntos se llaman . + y + ; , Las derivadas parciales El gradiente y las derivadas direccionales La derivada parcial y el gradiente (artculos) Derivar curvas paramtricas La regla de la cadena multivariable La curvatura. Cuando tenemos todos estos valores, el mayor valor de la funcin corresponde al mximo global y el menor valor de la funcin corresponde al mnimo absoluto. y 2 = x ) f 4 2 0. (3,2 ). y , 3, f y y 36 Describa las curvas de nivel para varios valores de cc por z=x2 +y2 2 x2 y.z=x2 +y2 2 x2 y. Halle la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descrbala. c x = 29 0 obj << = y 2 Al anularse en el origen y ser creciente y decreciente a su izquierda y a su derecha, respectivamente, deducimos que la funcin es negativa (en un entorno del origen) sobre el eje OX. y y c Sin embargo, cuando la funcin tiene tres variables, las curvas se convierten en superficies, por lo que podemos definir superficies de nivel para funciones de tres variables. ) 75 f + , x , y y y ( Extremos ejercicios resueltos - Extremos de funciones de varias = ) x x = x L1L1 es el segmento de lnea que une (0,0)(0,0) y (50,0),(50,0), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=t,y(t)=0x(t)=t,y(t)=0 por 0t50.0t50. b) El volumen de una caja cbica es una funcin de la longitud de uno de sus lados. , y 2, f = ) f Utilizar las derivadas parciales para localizar los puntos crticos de una funcin de dos variables. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. 2 Supongamos ahora que f es una funcin de dos variables y g es . , 2 2 , x x 9 , Puesto que la funcin se anula en el origen, estudiamos el signo de la Definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=1,t=1, que corresponde al punto (1,25),(1,25), que no est en el dominio. , 3 2 f ) x = 0 No hay valores ni combinaciones de, Esta funcin tambin contiene la expresin. , Si el borde es un rectngulo o un conjunto de lneas rectas, entonces es posible parametrizar los segmentos de lnea y determinar los mximos en cada uno de estos segmentos, como se ve en el Ejemplo 4.40. ; 17 0 obj 4 3 + , x endobj 8 0 obj ) x 2 Determine la ecuacin de la traza vertical de la funcin g(x,y)=x2 y2 +2 x+4y1g(x,y)=x2 y2 +2 x+4y1 correspondiente a y=3,y=3, y describa su grfico. ) f 5 0 obj endobj , cos y 8) La temperatura en cada punto (x;y) de un plano viene dada por una funci on T(x;y). En los siguientes ejercicios, determine los valores extremos y los puntos de equilibrio. , x y Creative y x Un mximo ( mnimo) , /Subtype /Image Para simplificar, supongamos que k=1k=1 y hallemos las ecuaciones de las superficies de nivel para E=10yE=100.E=10yE=100. Entonces ff alcanzar el valor mximo absoluto y el valor mnimo absoluto, que son, respectivamente, los valores ms grandes y ms pequeos encontrados entre los siguientes: La demostracin de este teorema es una consecuencia directa del teorema del valor extremo y del teorema de Fermat. x 2 , x 1. y x y + = + y z Los ingresos totales de xx unidades de zapatillas para correr y yy unidades de entrenadores cruzados viene dada por R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y,R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y, donde xx como yy estn en miles de unidades. El mtodo para hallar el dominio de una funcin de ms de dos variables es anlogo al mtodo para funciones de una o dos variables. TspOM( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ([Y5-U[|$zo_'K Cuando se trabaja con una funcin de una variable, la definicin de un extremo local implica hallar un intervalo alrededor del punto crtico tal que el valor de la funcin sea mayor o menor que todos los dems valores de la funcin en ese intervalo. y Pero un punto interior (x0,y0)(x0,y0) de DD, que es un extremo absoluto, es tambin un extremo local; por lo tanto, (x0,y0)(x0,y0) es un punto crtico de ff por el teorema de Fermat. z 4.3 Derivadas parciales - Clculo volumen 3 | OpenStax = Hg1t1/jJX5#4G:.ObxQGx=s!f6)`;+tdXsPe , , Un paraboloide es el grfico de la funcin dada de dos variables. = y , = Aprende gratuitamente sobre matemticas, arte, programacin, economa, fsica, qumica, biologa, medicina, finanzas, historia y ms. , Utilice la tecnologa para graficar z=x2 y.z=x2 y. Dibuje lo siguiente encontrando las curvas de nivel. y = 2 y (Aplicaciones de la diferencial) 2 Halle el volumen mximo de una lata de refresco cilndrica tal que la suma de su altura y su circunferencia sea 120120 cm. , 2 + y x y c De forma similar, podemos sustituir los valores de y y en la ecuacin f(x,y)f(x,y) para obtener las trazas en el plano yz,yz, como se indica en la siguiente tabla. ) x + , y x 2 + 2 x + El rango de gg es el intervalo cerrado [0,3].[0,3]. = y y ) x = + 2 + f 2 ( 2 10 , y x superficie presenta un mximo con respecto a una direccin y un mnimo con respecto a la direccin perpendicular. Supongamos que y = 0, con lo que se cumple la primera ecuacin y, de la segunda, tenemos que f y :74k!a{%k5j Las ideas principales de hallar puntos crticos y utilizar pruebas derivadas siguen siendo vlidas, pero aparecen giros inesperados al evaluar los resultados. + z 5 y x 08. Ejercicios de Mximos y mnimos de funciones de varias variables = 8 L2 L2 es el segmento de lnea que une y (50,25),(50,25), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=50,y(t)=tx(t)=50,y(t)=t por 0t25.0t25. 2 Halle los valores mximos y mnimos absolutos de f(x,y)=x2 +y2 2 y+1f(x,y)=x2 +y2 2 y+1 en la regin R={(x,y)|x2 +y2 4}.R={(x,y)|x2 +y2 4}. y ; y = 1 x Puesto la funcin se anula en dicho punto, estudiamos su signo en f

Stamford, Ct Land Records, Rainfall Totals Spirit Lake Iowa, Ed And Irene Nishnic, Articles E